Page 395 - Istenič Andreja, Gačnik Mateja, Horvat Barbara, Kukanja Gabrijelčič Mojca, Kiswarday Vanja Riccarda, Lebeničnik Maja, Mezgec Maja, Volk Marina. Ur. 2023. Vzgoja in izobraževanje med preteklostjo in prihodnostjo. Koper: Založba Univerze na Primorskem
P. 395
Učenje in poučevanje evklidske geometrije: nekoč, danes in jutri
znajo druge like. Tako npr. z barvanjem skladnih kotov razumejo, da sta
nasprotna kota paralelograma skladna. Po primernem številu takih vaj
lahko posplošujejo lastnosti na vse paralelograme. Na tej ravni se sicer
povezave med liki še niso izoblikovale in učenci še ne razumejo defini-
cij.
2. Neformalna dedukcija: na tej ravni lahko učenci razumejo povezave
med lastnosti likov, npr. da je kvadrat pravokotnik, ker ima vse lastnosti
pravokotnika. Učenci torej lahko razumejo lastnosti likov in prepoznajo
razrede likov. Razumejo tudi povezavo med različnimi množicami likov
(npr. da so vsi kvadrati obenem pravokotniki in vsi pravokotniki po-
sebna vrsta paralelogramov). Razumejo definicije in znajo neformalno
utemeljiti trditve. V tej fazi ne razumejo pomena dedukcije in aksio-
mov. Deduktivno razmišljanje uporabljajo skupaj z eksperimentalnimi
rezultati. Niso pa še sposobni razumeti dokazov in logičnega reda, ki
mu je treba slediti, da se trditev formalno dokaže.
3. Formalna dedukcija: na tej ravni učenci razumejo pomen dedukcije kot
načina dokazovanja izrekov; sposobni so tudi razumeti aksiome. Razu-
mejo odnose med nedefiniranimi izrazi, aksiomi, postulati, definicijami,
izreki in dokazi. Na tej ravni lahko konstruirajo (in se ne zgolj naučijo na
pamet) dokaze izrekov. Prepoznajo tudi razliko med trditvijo in njeno
negacijo (tj. nasprotno trditvijo). Razumejo odnos med zadostnimi in
potrebnimi pogoji.
4. Strogo matematična stopnja: na tej ravni znajo učenci pravilno razmi-
šljati v različnih aksiomatskih sistemih, torej se lahko učijo neevklidskih
geometrij in evklidsko geometrijo lahko primerjajo z neevklidsko. Geo-
metrijo razumejo tudi na abstraktnejši ravni.
Večina srednješolske geometrije se dogaja na ravni formalne dedukcije (tj.
na ravni 3), zato so se raziskave na tem področju večinoma osredotočale na
nižje ravni (Crowley 1987).
Model van Hiele ponuja vpogled v način geometrijskega razmišljanja, obe-
nem pa tudi določena didaktična priporočila (Crowley 1987; Vargas in Araya
2013):
– Postopnost: učenec mora iti urejeno in postopno skozi vse faze geome-
trijskega razmišljanja. Da lahko obvlada vsebine, ki so značilne za do-
ločeno raven, mora usvojiti tudi proceduralne strategije, tj. strategije
reševanja problemov.
– Napredek: dejstvo, da učenec napreduje z nižje na višjo raven, je od-
395
znajo druge like. Tako npr. z barvanjem skladnih kotov razumejo, da sta
nasprotna kota paralelograma skladna. Po primernem številu takih vaj
lahko posplošujejo lastnosti na vse paralelograme. Na tej ravni se sicer
povezave med liki še niso izoblikovale in učenci še ne razumejo defini-
cij.
2. Neformalna dedukcija: na tej ravni lahko učenci razumejo povezave
med lastnosti likov, npr. da je kvadrat pravokotnik, ker ima vse lastnosti
pravokotnika. Učenci torej lahko razumejo lastnosti likov in prepoznajo
razrede likov. Razumejo tudi povezavo med različnimi množicami likov
(npr. da so vsi kvadrati obenem pravokotniki in vsi pravokotniki po-
sebna vrsta paralelogramov). Razumejo definicije in znajo neformalno
utemeljiti trditve. V tej fazi ne razumejo pomena dedukcije in aksio-
mov. Deduktivno razmišljanje uporabljajo skupaj z eksperimentalnimi
rezultati. Niso pa še sposobni razumeti dokazov in logičnega reda, ki
mu je treba slediti, da se trditev formalno dokaže.
3. Formalna dedukcija: na tej ravni učenci razumejo pomen dedukcije kot
načina dokazovanja izrekov; sposobni so tudi razumeti aksiome. Razu-
mejo odnose med nedefiniranimi izrazi, aksiomi, postulati, definicijami,
izreki in dokazi. Na tej ravni lahko konstruirajo (in se ne zgolj naučijo na
pamet) dokaze izrekov. Prepoznajo tudi razliko med trditvijo in njeno
negacijo (tj. nasprotno trditvijo). Razumejo odnos med zadostnimi in
potrebnimi pogoji.
4. Strogo matematična stopnja: na tej ravni znajo učenci pravilno razmi-
šljati v različnih aksiomatskih sistemih, torej se lahko učijo neevklidskih
geometrij in evklidsko geometrijo lahko primerjajo z neevklidsko. Geo-
metrijo razumejo tudi na abstraktnejši ravni.
Večina srednješolske geometrije se dogaja na ravni formalne dedukcije (tj.
na ravni 3), zato so se raziskave na tem področju večinoma osredotočale na
nižje ravni (Crowley 1987).
Model van Hiele ponuja vpogled v način geometrijskega razmišljanja, obe-
nem pa tudi določena didaktična priporočila (Crowley 1987; Vargas in Araya
2013):
– Postopnost: učenec mora iti urejeno in postopno skozi vse faze geome-
trijskega razmišljanja. Da lahko obvlada vsebine, ki so značilne za do-
ločeno raven, mora usvojiti tudi proceduralne strategije, tj. strategije
reševanja problemov.
– Napredek: dejstvo, da učenec napreduje z nižje na višjo raven, je od-
395
