Page 398 - Istenič Andreja, Gačnik Mateja, Horvat Barbara, Kukanja Gabrijelčič Mojca, Kiswarday Vanja Riccarda, Lebeničnik Maja, Mezgec Maja, Volk Marina. Ur. 2023. Vzgoja in izobraževanje med preteklostjo in prihodnostjo. Koper: Založba Univerze na Primorskem
P. 398
iel Doz, Darjo Felda in Mara Cotič
prvi ravni učenci prepoznajo geometrijske objekte, kot sta kvadrat ali
trikotnik, zgolj na podlagi fizičnih lastnosti njunih modelov. Učenci
lahko npr. vidijo, da so vse stranice kvadrata enako dolge, trikotnik pa
ima »špico« in samo tri stranice. Na drugi ravni učenci prepoznajo like
tudi po njihovih matematičnih lastnostih. Če torej obravnavajo »lik brez
diagonal«, prepoznajo trikotnik.
– Uporabljanje definicij: sposobnost uporabe definicije nastopi šele na
drugi ravni, ko učenci razumejo enostavne definicije z enostavno struk-
turo, npr. »kvadrat je lik, ki ima štiri skladne stranice in vse notranje kote
prave«. Na tretji ravni učenci razumejo vse definicije, tudi tiste s kom-
pleksnejšo strukturo, na četrti pa so sposobni sprejeti možnost, da ob-
staja več ekvivalentnih definicij, npr. »kvadrat je romb z enim pravim
kotom« in »kvadrat je paralelogram s pravokotnima in skladnima dia-
gonalama«.
– Oblikovanje definicij: učenci so sposobni sestaviti (oblikovati) definicije
že na prvi ravni, vendar te temeljijo zgolj na seznamu fizičnih lastnosti
likov. Npr.: »Kvadrat je lik, ki ima vse stranice enake in ni poševen« (ni
romb). Na drugi ravni znajo podati definicijo, v kateri naštejejo mate-
matične lastnosti geometrijskih objektov, na tretji pa znajo predstaviti
potrebne in zadostne pogoje za definicijo objektov. Šele na četrti ravni
so sposobni dokazati ekvivalenco med različnimi definicijami.
– Klasifikacija: učenci znajo klasificirati geometrijske objekte na podlagi
izključujočih in vključujočih lastnosti. Na nižjih ravneh so sposobni
samo izključujoče klasifikacije (npr. »Trikotnik ni kvadrat, ker nima 4
stranic«). Šele na tretji ravni preklapljajo iz izključujoče v vključujočo
klasifikacijo (npr. »Ker ima kvadrat vse stranice skladne, je to romb«).
– Dokazovanje: ker je to kompleksnejša kompetenca, je ta prisotna na viš-
jih ravneh geometrijskega razumevanja. Na drugi ravni znajo učenci s
primerom pokazati, da dana trditev velja. Informalni logični dokaz na-
stopi šele na tretji ravni, ko znajo učenci neformalno dokazati, zakaj tr-
ditev velja. Na četrti ravni pa so sposobni formalnega matematičnega
dokaza, ki sledi logičnemu poteku (glej preglednico 1).
Model van Hiele je uporaben tudi kot model učenja in poučevanja izrekov
ter dokazov evklidske geometrije (Machisi 2021). Ko se učenci učijo defini-
cij, ki jih je postavil Evklid, oz. se srečujejo z izreki in dokazi evklidske geo-
metrije, je nujno, da se njihova raven geometrijskega razumevanja in razmi-
šljanja sklada z učiteljevo. Če je učenec na nižji ravni, torej ni popolnoma ra-
zumel vsebin, ki zahtevajo nižjo stopnjo abstrahiranja, učitelj pa poučuje na
398
prvi ravni učenci prepoznajo geometrijske objekte, kot sta kvadrat ali
trikotnik, zgolj na podlagi fizičnih lastnosti njunih modelov. Učenci
lahko npr. vidijo, da so vse stranice kvadrata enako dolge, trikotnik pa
ima »špico« in samo tri stranice. Na drugi ravni učenci prepoznajo like
tudi po njihovih matematičnih lastnostih. Če torej obravnavajo »lik brez
diagonal«, prepoznajo trikotnik.
– Uporabljanje definicij: sposobnost uporabe definicije nastopi šele na
drugi ravni, ko učenci razumejo enostavne definicije z enostavno struk-
turo, npr. »kvadrat je lik, ki ima štiri skladne stranice in vse notranje kote
prave«. Na tretji ravni učenci razumejo vse definicije, tudi tiste s kom-
pleksnejšo strukturo, na četrti pa so sposobni sprejeti možnost, da ob-
staja več ekvivalentnih definicij, npr. »kvadrat je romb z enim pravim
kotom« in »kvadrat je paralelogram s pravokotnima in skladnima dia-
gonalama«.
– Oblikovanje definicij: učenci so sposobni sestaviti (oblikovati) definicije
že na prvi ravni, vendar te temeljijo zgolj na seznamu fizičnih lastnosti
likov. Npr.: »Kvadrat je lik, ki ima vse stranice enake in ni poševen« (ni
romb). Na drugi ravni znajo podati definicijo, v kateri naštejejo mate-
matične lastnosti geometrijskih objektov, na tretji pa znajo predstaviti
potrebne in zadostne pogoje za definicijo objektov. Šele na četrti ravni
so sposobni dokazati ekvivalenco med različnimi definicijami.
– Klasifikacija: učenci znajo klasificirati geometrijske objekte na podlagi
izključujočih in vključujočih lastnosti. Na nižjih ravneh so sposobni
samo izključujoče klasifikacije (npr. »Trikotnik ni kvadrat, ker nima 4
stranic«). Šele na tretji ravni preklapljajo iz izključujoče v vključujočo
klasifikacijo (npr. »Ker ima kvadrat vse stranice skladne, je to romb«).
– Dokazovanje: ker je to kompleksnejša kompetenca, je ta prisotna na viš-
jih ravneh geometrijskega razumevanja. Na drugi ravni znajo učenci s
primerom pokazati, da dana trditev velja. Informalni logični dokaz na-
stopi šele na tretji ravni, ko znajo učenci neformalno dokazati, zakaj tr-
ditev velja. Na četrti ravni pa so sposobni formalnega matematičnega
dokaza, ki sledi logičnemu poteku (glej preglednico 1).
Model van Hiele je uporaben tudi kot model učenja in poučevanja izrekov
ter dokazov evklidske geometrije (Machisi 2021). Ko se učenci učijo defini-
cij, ki jih je postavil Evklid, oz. se srečujejo z izreki in dokazi evklidske geo-
metrije, je nujno, da se njihova raven geometrijskega razumevanja in razmi-
šljanja sklada z učiteljevo. Če je učenec na nižji ravni, torej ni popolnoma ra-
zumel vsebin, ki zahtevajo nižjo stopnjo abstrahiranja, učitelj pa poučuje na
398
